Hallo alhayat,
in Abschiebehaft nach "Exmatrikulation" befindet man sich nur, wenn man sich einer vollziehbaren Ausreiseverpflichtung entzogen hat. Z.B. durch Untertauchen.
Ein Asylantrag kann jederzeit gestellt werden, da würde ich bezüglich des "wie" mal mit den Sozialarbeitern in der JVA sprechen. Ggf. schriftlich an die örtlich zuständige ABH mit der Bitte um Weiterleitung. Allerdings: der Antrag wird nicht dazu führen, dass eine Haftentlassung erfolgt. Ich gehe davon aus, dass § 14 Abs. 3 AsylVfG der Entlassung entgegensteht.

Darüber hinaus hat ein Asylantrag unter diesen Umständen gute Aussichten darauf, gem. § 30 Abs. 3 Nr. 4 AsylVfG als offensichtlich unbegründet abgelehnt zu werden. Das ist dann der Fall, wenn ein Asylantrag gestellt wird, um eine anstehende Aufenthaltsbeendigung zu verhindern und wenn man vorher lange genung in D. war und die Möglichkeit hatte, einen Asylantrag zu stellen.