In deinem Text ging es jetzt nur um den Türken. Aber es geht nicht um den Türken sondern um das Kind. Nicht weil er der Vater eines deutschen Kindes könnte eine Aufenthaltserlaubnis erteilt werden sondern weil es dem Interesse des Kindes ist mit seinem Vater groß zu werden.

Man wird sich fragen, seit wann der Ehemann/Vater ausgezogen hat, und seitdem weiterhin Teil des Lebens des Kindes ist. Sagen wir es mal hart: Wenn der Vater sich seit einem halben Jahr getrennt hat und seitdem das Kind nicht mal besucht hat, dann sollte er lieber die Rückflugtickets beschaffen.

Das wäre der Mutter des Kindes sehr recht, wenn er sich Rückflugtickets kaufen müsste   
Zum Thema Kind: er besucht das Kind. Die Betonung liegt auf "besuchen". Er kommt vorbei, wenn er grade Lust hat, hält sich nicht an vereinbarte Besuchszeiten, sagt auch nicht Bescheid, dass er nicht kommen kann.   Wenn er  kommt vorbei, spielt mit ihm 1-2 Stunden oder geht mit ihm Spazieren(das Kind ist 1,5). Kümmert sich aber sonst gar nicht. Wenn das Kind während dieser Besuche hungrig ist, muss die Mutter es füttern, die Mutter muss das Kind umziehen usw. Die ganze Arbeit/Last bleibt also bei der Mutter, auch wenn sie ein geteiltes Sorgerecht haben. Er hat das Kind noch nie gebadet, gefüttert, ins Bett gebracht, auch als er mit der Mutter des Kindes zusammengelebt hat. Das wird die Ausländerbehörde aber wahrscheinlich nicht interessieren. Solange er das Kind besucht ist er ein toller Vater 
Ach und er zahlt sogar Unterhalt. Woher das Geld kommt weiss die Mutter nicht.
Anmelden kann er sich nicht , weil er ja keine Wohnung hat. Eine Wohnung kann er nicht finden, weil er keinen Job hat. Und seine Bekannten können ihn nicht bei sich anmelden. Die Mutter des Kindes möchte ihn unter keinen Umständen wieder bei sich anmelden.