Im deutschen Recht wird nicht zwischen ehelichen und nicht ehelichen Kindern unterschieden. Prinzipiell geht es daher, wenn
a) der Vater das Sorgerecht besitzt und auch ausübt
b) das Kind beim Vater in familiärer Gemeinschaft lebt und
c) die Mutter schriftlich zustimmt.

Allerdings müssen auch die sonst üblichen Voraussetzungen erfüllt sein, d.h., das Kind benötigt eine Aufenthaltserlaubnis, wie in § 10 StAG beschrieben. Eine AE für Studienzwecke reicht nicht aus.
Nach § 10 Abs. 2 StAG kann bei einer Miteinbürgerung nur von der sonst erforderlichen Aufenthaltsdauer von 8 Jahren abgewichen werden, die übrigen Voraussetzungen muss das Kind ebenfalls erfüllen.

Es sollte für das Kind also zunächst eine andere AE beantragt werden.