Du musst als erstes herausfinden, warum das Kind keinen Pass hat und warum die Mutter kein Aufenthaltsrecht hat. Für beides kann es hundert verschiedene Gründe geben.

Ich habe eine Geburtsurkunde des Kindes, die hier in Deutschland ausgestellt wurde. Die Mutter hat einen serbischen Pass.
Der Vater ist bekannt, hat aber Kontaktverbot aufgrund massiver Gewalt.

das ist nicht so ganz einfach:

- als Pflegeeltern seid ihr vermutlich gegenüber der ABH gar nicht "existent", da das Sache des Vormunds sein dürfte.
- gegenüber serbischen Behörden ist die Frage des Sorgerechts dann nochmal problematischer, da geklärt werden müsste, ob der Sorgerechtsentzug gegenüber den Eltern im serbischen Rechtskreis überhaupt wirksam wäre. Wenn nicht, könnten nur die (insoweit noch immer sorgeberechtigten) Eltern einen serbischen Pass beantragen.
- eine Abschiebung des Kindes (egal ob mit oder ohne Mutter - die hat vermutlich eine Suchtproblematik?!?) dürfte rechtlich unmöglich sein, so dass für das Kind zumindest eine (von den Eltern unabhängige) Aufenthaltserlaubnis nach § 25 Abs. 5 AufenthG und faktisch wohl auch ein Ausweisersatz in Frage kommt. Das müsste der Vormund, ggf. unter Einschaltung eines Rechtsanwalts wenn er damit fachlich überfordert ist, ggü. der ABH durchsetzen.
- wenn das alles durch und geklärt ist und kein Pass vom serbischen Konsulat erlangt werden kann, dann wäre auch ein deutscher Reiseausweis für Ausländer für das Kind möglich.

Bis dahin geht Urlaub im Ausland eben nicht - durch deutsche Pflegeeltern allein hat das Kind nicht mehr Rechte als ohne.

Das Problem ist, dass wir jetzt alle nach Frankfurt zum Konsulat fahren sollen, um einen Pass für das Kind zu beantragen. Ich kenne aber auch von anderen Fällen die Problematik, dass, ist das Kind in dem Konsulat, andere Sorgerechtsgesetze gelten und wir Gefahr laufen, das Kind nicht wieder zu bekommen.
Ich habe aber auch schon mal gehört, dass Kinder nicht zwingend mit zum Konsulat müssen, erhalte hier im Internet aber wenig Info. Kann mir hierzu jemand mehr Infos geben?
Ein weiteres Problem ist, dass der Vormund "mal eben nach nebenan zur Ausländerbehörde" geht und dann mal die und mal eine andere Auskunft bekommt". Habe das Gefühl, dass der Vormund hier wirklich überfordert ist und ich langfristig nicht ohne anwaltliche Hilfe auskomme.