Die ersten drei Monate sind sie völlig auf sich gestellt.

Hartz IV können sie zusätzlich beantragen, wenn sie einen spürbaren Teil ihres Lebensunterhalts durch eine Arbeit verdienen, es aber nicht reicht. Es gibt da keine genaue Grenze – 30 Euro im Monat selbst verdienen reicht nicht, 500 Euro im Monat selbst verdienen reicht.

Theoretisch können sie auch als "Arbeitssuchende" alles vom Amt bekommen, wenn die Arbeitssuche ernsthaft und erfolgversprechend ist. Das ist aber möglicherweise schwer durchzusetzen.

(Das ganze Recht ist weitaus komplizierter und hat mehr Möglichkeiten und Ausnahmen, hier stelle ich nur die Grundzüge dar. Bei einer speziellen Situation solltest Du dann gezielt nachfragen, aber dann auch genaue Zahlen nennen.)

Für die Teilnahme am Integrationskurs müssen sie erst ihre "Zulassung" beantragen, weil sie als EU-Bürger nicht automatisch teilnehmen dürfen. Den Antrag sollte besser der Kursanbieter stellen, der kennt sich mit sowas aus. Bezahlen müssen sie anteilig selbst, wenn sie das können.