Wenn du in Österreich lebst müsste dort nach drei Monaten ein Freizügigkeitstatbestand vorliegen. Dieser wäre "Person mit ausreichenden Mitteln" durch dein Einkommen aus Deutschland. Krankenversicherung muss auch vorliegen, möglicherweise verlangt Österreich eine österreischische Krankenversicherung auch wenn die deutsche fortgilt.
Deine Mutter müsste Unterhalt von dir bekommen und diesen Unterhalt brauchen. Genau was das heißt, also Unterhalt in welchem Unfang und wie man den Bedarf nachweist, müsste mit der österreichischen Behörde geklärt werden, da die Praxis und Interpretation der Richtlinie zwischen Mitgliedstaaten variiert.
Fragen dazu sind beim Europäischen Gerichtshof anhängig und Änderungen sind somit in allen Mitgliedstaaten möglich.
Sie müsste nach Ankunft in Österreich krankenversichert sein, die Regeln bzw. Kosten müssten dort geprüft werden.
Wenn du wieder nach Deutschland umziehst, dürfte deine Mutter in dieser Konstellation nicht mit. Denn für die "Mitnahme" der Freizügigkeit (EuGH Singh) durch Familienangehörigen müsstest du in Österreich arbeiten und einen echten Wohnsitz dort haben, üblicherweise ohne auch einen deutschen Wohnsitz zu haben. Deine Mutter müsste mit dir in Österreich leben währen du dort arbeitest.
(Der Aufenthalt deiner Mutter in Österreich würde davon abhängen, dass du weiterhin freizügigkeitsberechtigt dort lebst, bis sie nach fünf Jahren dort ein Daueraufenthaltsrecht erwerben würde, bis dann könnte sie also nicht in Ö bleiben wenn du wieder in D lebst.)
Allerdings gibt es §3 der Richtlinie.
Zitat:Artikel 3
Berechtigte
(1) Diese Richtlinie gilt für jeden Unionsbürger, der sich in einen anderen als den Mitgliedstaat, dessen Staatsangehörigkeit er besitzt, begibt oder sich dort aufhält, sowie für seine Familienangehörigen im Sinne von Artikel 2 Nummer 2, die ihn begleiten oder ihm nachziehen.
(2) Unbeschadet eines etwaigen persönlichen Rechts auf Freizügigkeit und Aufenthalt der Betroffenen erleichtert der Aufnahmemitgliedstaat nach Maßgabe seiner innerstaatlichen Rechtsvorschriften die Einreise und den Aufenthalt der folgenden Personen:
a) jedes nicht unter die Definition in Artikel 2 Nummer 2 fallenden Familienangehörigen ungeachtet seiner Staatsangehörigkeit, dem der primär aufenthaltsberechtigte Unionsbürger im Herkunftsland Unterhalt gewährt oder der mit ihm im Herkunftsland in häuslicher Gemeinschaft gelebt hat, oder wenn schwerwiegende gesundheitliche Gründe die persönliche Pflege des Familienangehörigen durch den Unionsbürger zwingend erforderlich machen;
b) des Lebenspartners, mit dem der Unionsbürger eine ordnungsgemäß bescheinigte dauerhafte Beziehung eingegangen ist.
Der Aufnahmemitgliedstaat führt eine eingehende Untersuchung der persönlichen Umstände durch und begründet eine etwaige Verweigerung der Einreise oder des Aufenthalts dieser Personen.
Nur wurde dieser in Deutschland nicht umgesetzt. Es wäre wahrscheinlich nötig, das Gericht anzurufen.
Auch zum fettmarkierten Teil sind Fragen beim Europäischen Gerichtshof anhängig, so könnte sich die Sache ändern, Garantien gibt es aber nicht.
Wenn du auch in Österreich arbeiten würdest, könnte deine Mutter dann evtl. mit nach Deutschland umziehen.