Ein Erlöschen in dem Sinne, dass die AE einfach Kraft Gesetz "verloren geht", ist grundsätzlich bei § 31 AufenthG nicht vorgesehen.

Für die Verlängerung muss der Lebensunterhalt aber in der Regel gesichert sein. Arbeitslosengeld und Rente sind, wenn der Bezug ausreichend ist um den Bedarf zu decken, nicht problematisch. Wenn zusätzlich Sozialleistungen wie ALG II bezogen werden müssten, käme es auf den Einzelfall an. Eine Erwerbsunfähigkeit wegen Behinderung müsste berücksichtigt werden und könnte auch bei ungesichertem LU zu einer Verlängerung führen. Das ist aber wie gesagt einzelfallbezogen und kann nicht pauschal beantwortet werden.