https://www.welt.de/politik/deutschland/article171478387/Familienvater-buergt-fuer-zwei-Syrer-und-muss-zahlen.html

https://www1.wdr.de/nachrichten/westfalen-lippe/buergschaften-fluechtlinge-urteil100.html

Vielleicht könnte wir mal ein paar Urteile zu dem Thema zusammentragen. Ich finde eher Zeitungsbeiträge, aber nicht die Urteile selber.
Und keine Ahnung, wie ich den zweiten Link reparieren kann.

Hier die Vorinstanzen

Und hier was zum Thema

http://www.zar.nomos.de/fileadmin/zar/doc/Aufsatz_ZAR_15_08.pdf

Des Weiteren:

https://www.bverwg.de/260117U1C10.16.0

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BVerwG 1 C 10.16 - Urteil vom 26.01.2017
http://www.bverwg.de/presse/pressemitteilungen/pressemitteilung.php?jahr=2017&nr=3

Zitat:

Verpflichtungsgeber haftet für die Lebensunterhaltskosten von Bürgerkriegsflüchtlingen auch nach Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft ... Im Rahmen der Verpflichtungserklärung ist für die Zuordnung eines Sachverhalts zu einem „Aufenthaltszweck“ im Ansatz von den verschiedenen Abschnitten des Kapitels II des Aufenthaltsgesetzes auszugehen. „Aufenthaltszweck“ im Sinne der Verpflichtungserklärung umfasst daher jeden Aufenthalt aus völkerrechtlichen, humanitären oder politischen Gründen, wie sie - unter dieser Überschrift - vom Gesetzgeber im Abschnitt 5 des Aufenthaltsgesetzes zusammengefasst sind.

http://www.lto.de/recht/hintergruende/h/bverwg-urteil-1-c-10-16-fluechtlinge-verpflichtungserklaerung-aufenthaltstitel/

Zitat:

Wer eine Übernahme der Lebenshaltungskosten für Flüchtlinge in Deutschland zugesagt hat, zahlt diese auch dann, wenn diesen die Flüchtlingseigenschaft zuerkannt wurde. Das hat das Bundesverwaltungsgericht (BVerwG) entschieden (Urt. v. 26. 01.2017, Az. 1 C 10.16). Damit hat das Gericht Klarheit in bisher sehr unterschiedliche Rechtsprechung gebracht.

Info zur Gültigkeit der Verpflichtungserklärung (VE) ab 6.8.2016
http://www.nds-fluerat.org/20950/aktuelles/verpflichtungserklaerungen-aenderungen-durch-das-integrationsgesetz/

Zitat:

Verpflichtungserklärungen  erlöschen  jedoch  weiterhin,  wenn  ein  Wechsel  des Aufenthaltstitels  zu  einem  anderen  Zweck  außerhalb  des  fünften  Abschnitts  des Aufenthaltsgesetzes (z. B. zum  Zwecke der Erwerbstätigkeit) stattfindet.

Ich lese daraus
bei Erteilung eines AT zu allen anderen Zwecken außer zu Abschnitt 5 Aufenthalt aus völkerrechtlichen, humanitären oder politischen Gründen
http://www.buzer.de/gesetz/4752/b12762.htm
erlischt die VE weiterhin mit der Ausreise oder Erteilung des AT (wie bisher).

Unter Zweckwechsel ist ein AT zu einem anderen Abschnitt des AufenthG zu verstehen.