Das hängt von den Einzelheiten im konkreten Fall ab.

Die Eltern sollten sich unbedingt beraten lassen, dabei auch ihren Bescheid vorlegen. Denn der Asylantrag wird auch "von Amts wegen" gestellt. Bevor eine "offensichtlich-unbegründet"-Entscheidung ergeht, sollte man den Antrag zurückziehen bzw. gleich von Anfang an darauf verzichten.

Ansonsten ist ein Flüchtlingsstatus meistens stärker als ein Familienstatus – aber wie gesagt: Es hängt vom Einzelfall ab.

Ich meine hier den §33 AufenthG:

Einem Kind, das im Bundesgebiet geboren wird, kann abweichend von den §§ 5 und 29 Abs. 1 Nr. 2 von Amts wegen eine Aufenthaltserlaubnis erteilt werden, wenn ein Elternteil eine Aufenthaltserlaubnis, eine Niederlassungserlaubnis oder eine Erlaubnis zum Daueraufenthalt – EU besitzt.

Wenn zum Zeitpunkt der Geburt beide Elternteile oder der allein personensorgeberechtigte Elternteil eine Aufenthaltserlaubnis, eine Niederlassungserlaubnis oder eine Erlaubnis zum Daueraufenthalt – EU besitzen, wird dem im Bundesgebiet geborenen Kind die Aufenthaltserlaubnis von Amts wegen erteilt.

Von statt kann eigentlich nicht die Rede sein, denn bei erfolgreichem Asylverfahren der Eltern ist beides gleichzeitig möglich. Außerdem sind solche Fälle reine Formsache, also nicht vergleichbar mit "richtigen" Asylverfahren.

Im Falle einer Flüchtlingsanerkennung der Eltern sind die Vorteile auch durchaus vorhanden: Anspruch auf einen Reiseausweis für Flüchtlinge, spätere Einbürgerung ohne Aufgabe der bisherigen Staatsangehörigkeit, günstigere Voraussetzungen zur Erlangung eines unbefristeten Aufenthaltstitels, erhöhter Ausweisungsschutz, grundsätzlich Gleichstellung mit Deutschen bei Sozialfragen etc.