Hat er eine AE für 1 oder 3 Jahre bekommen?

Die B1-Prüfung kann er unabhängig von einem Kurs machen. Nur den Test "Leben in Deutschland" meines Wissens nur zusammen mit dem dazugehörigen Unterricht. Und nur beides zusammen (B1 plus "Leben in Deutschland") gilt als Bestehen des Integrationskurses.

Dann soll er einen Sprachkurs suchen, der zu seinem 3 Schichtplan passt. Falls er seinen Job aufgeben müsste um den Sprachkurs zu besuchen, dann kann er die Entpflichtung bei der ABH beantragen. Aber erstmal suchen. Und wenn es nachweislich keinen gibt, dann ...

Wir hatten genau die gleiche Situation, 3 Jahre AE waren rum, meine Frau arbeitet Vollzeit+X . Verpflichtung I-Kurs bestand/besteht. Verlängerung der AE um 1 Jahr ist ja auch ohne Fortschritt im Deutschlernen Minimum. Wir haben mit der ABH gesprochen und in Ruhe die Situation erklärt, wir haben direkt 3 Jahre Verlängerung bekommen. (die hätten auch die NE ausgestellt, Deutsch war denen gut genug) 

Weiß jetzt nicht wie gut dein Mann effektiv schon Deutsch kann, bei meiner Frau mit alltäglichem B1+ hat die persönliche Vorsprache gereicht.

Ich denke dass man da mit ABH erstmal sprechen sollte. Ist ja nicht so dass er 3 Jahre lang zuhause saß und sich nicht gekümmert hat, sondern er arbeitet Vollzeit, zahlt seine Steuern etc. ... außerdem ist im Moment ja eh schwierig Platz im I-.kurs zu bekommen

Ansonsten: für die NE/Einbürgerung kann man auch selbstständig lernen und dann halt dein Einbürgerungstest plus B1 Test (Goethe etc.) bestehen, Zertifikat vorlegen und gut ist.

Nur zur Klarstellung: Also die Verpflichtung gilt nicht nur für 1 Jahr! Sie gilt bis zur Erfüllung oder Rücknahme.

Es ist nicht vorgeschrieben, wie lange man dafür Zeit hat. Das kommt auf die Umstände an. Und natürlich immer auf die entsprechenden Belege.

Wenn ihr nachweisen könnt, dass ihr trotz Bemühungen keinen passenden Kurs gefunden habt oder er erst später beginnen konnte, dann wird die ABH jeweils ein Jahr verlängern, jedoch nicht länger (§8 ABS. 3 AufenthG).
Wenn ihr nachweisen könnt, dass der Kurzbesuch aufgrund der Arbeit unzumutbar ist, wird die ABH die Verpflichtung ggf zurücknehmen.
Es kommt also immer auf eure Belege für das, was ihr geltend machen wollt an.

Nicht vergessen solltet ihr aber, für die NE spätestens benötigt er sowohl B1, als auch den bestandenen LiD-Test...

Sorry, hatte ich übersehen.

Stimmt, für die NE nach § 28 II AufenthG ist lediglich der B1-Nachweis erforderlich.